Образовательный портал Математика для всех

Чтобы начать решать необычную задачу, иногда полезно применить некоторые простые приёмы. Например, можно попытаться угадать ответ. Проверка этого ответа покажет, верен он или неверен, и как его надо изменить, чтобы он оказался правильным. Также можно попытаться угадать не сам ответ, а какие-то дополнительные условия в задаче. Иногда это может сразу привести к решению, а может просто дать полезные подсказки. Во многих задачах, чтобы приблизиться к решению, достаточно спросить себя: «А что, вообще, мы можем сделать на первом шаге?». На этом же занятии ученик знакомится с важным понятием – чётностью, лежащим в основе огромного числа математических задач.

Занятие посвящено одному из самых важных понятий математики, знакомит с языком математики, позволяющим проникнуть во все её области. Представление о множествах, умение оперировать этим понятием, даёт ученику возможность систематизировать свои знания, правильно и логично излагать свои мысли.

Комбинаторика – это раздел математики, имеющий дело с конечными множествами. Объектом исследования комбинаторики являются комбинации элементов. Основными вопросами комбинаторики являются, например, такие: «Сколько существует вариантов составить букет из пяти цветков?» или «Сколько всего шестизначных чисел, с заданной суммой цифр?». Умение отвечать на такие вопросы опирается на несколько простых правил, о которых идёт речь на этом занятии.

Делимость – одно из самых древних понятий математики, поэтому в этой области поставлено огромное количество задач, получено много интересных и важных результатов. Пожалуй, основным из них является основная теорема арифметики, утверждающая единственность разложения на простые множители. Прочное усвоение этой теоремы и её следствий – главная цель данного занятия. На этом же занятии даются понятия НОД и НОК. В изложении используются основы теории множеств, в частности, круги Эйлера.

Нельзя посадить трёх кроликов в две одноместные клетки. Это самая известная формулировка принципа Дирихле. Абсолютное большинство людей считают это очевидным, не требующим доказательства. Однако, этот простой факт, а также множество фактов посложнее, математиками доказываются, широко применяются и дают основу для мощного метода решения многочисленных задач.

Умение считать, т.е. производить арифметические действия, совершенно необходимо любому современному человеку. А применять навыки счёта для решения задач должен уметь не только начинающий математик, но и любой думающий школьник. На этом занятии на большом количестве примеров показывается, как решить задачу, применяя обычный счёт вместо составления уравнений.

Умение строго рассуждать – одно из главных умений в математике. Логические задачи в большей степени, чем другие, развивают это умение. «Ум в порядок приводят» – так словами М.В. Ломоносова можно охарактеризовать большинство логических задач.

Клетчатые задачи - такие задачи, в которых действие происходит на клетчатой плоскости, например, на всем привычном листе школьной тетради. Из-за простоты и понятности клетчатые задачи очень популярны на математических олимпиадах всех уровней.

На втором занятии по этой теме речь идёт об основных приёмах установления чётности: разбиении на пары и чередовании. Также рассматриваются арифметические свойства чётных и нечётных чисел.

На втором занятии по теме “Комбинаторика” речь идёт о простейших комбинаторных формулах. Подсчитывается количество перестановок, количество перестановок с повторениями элементов. Приводятся примеры задач, среди которых есть задачи на применение принципа «секретаря».

Многие математические задачи начинаются словами "можно ли…". Ответ на такой вопрос подразумевает две возможности: ДА или НЕТ. Для обоснования ответа ДА достаточно привести пример, а вот для обоснования ответа НЕТ требуется доказательство.

Какое наибольшее количество ферзей, не бьющих друг друга, поместятся на шахматной доске? Найдите наибольшее трёхзначное число, которое состоит из разных цифр и делится на каждую из них. Эти и похожие задачи часто ставятся в математике. Чтобы дать полный ответ на такие задачи, надо, во-первых, привести пример, как расставить ферзей или указать нужное нам число. А, во-вторых, доказать, что больше получить нельзя – обосновать оценку.

Задачи на разрезание интересны тем, что с помощью внешне простых примеров можно понять очень важные геометрические и комбинаторные идеи. Именно таким задачам и посвящен очередной дистанционный урок.

В ходе дистанционного урока будет показано, как с помощью разрезания можно решить некоторые геометрические задачи, а также будет разобран один из случаев важной задачи о равновеликих и равносоставленных многоугольниках.

Многие математические задачи, имеют дело с каким-то процессом. Анализировать этот процесс бывает проще не так, как он развивается, а в обратном порядке – с конца. Это часто позволяет обойтись без введения большого количества неизвестных или без длительного перебора случаев. Особенности применения метода анализа с конца и будут обсуждаться на очередном уроке.

В математике есть раздел "Теория игр". Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов.

Неравенство треугольника - самое известное и самое главное геометрическое неравенство. Интуитивно оно очевидно - кратчайшее путь между пунктами идёт по прямой. Этот факт лежит в основе решения разных задач.

Метод математический индукции является одним из наиболее важных методов решения задач, применяемым в самых разных разделах математики. В первом уроке по данной теме можно ознакомиться с основными идеями самого понятия "математическая индукция", а также попробовать применить его при решении некоторых олимпиадных задач.

Можно ли на шахматной доске переставить местами коней? Можно ли обойти городские мосты, пройдя каждый по одному разу? Казалось бы, что эти задачи не имеют ничего общего. Однако, их связывает общий подход к решению, а именно, применение схематичной модели, называемой графом.

В дистанционном уроке мы продолжаем знакомиться с темой "Комбинаторика".

В дистанционном уроке мы продолжаем изучать возможности графов при решении задач. Основное внимание уделено разбору задач, в которых применение графов в значительной степени облегчает построение примеров и проведение обоснования их оптимальности.

В дистанционном уроке основное внимание уделено важному понятию в теории графов -- изоморфизму. Это понятие иллюстрируется с помощью доступных примеров, а в дальнейшем подробно обсуждаются идеи, с помощью которых можно проверять, изоморфны графы или нет.

В дистанционном уроке мы продолжаем знакомиться с темой "Делимость". Во втором уроке по данной теме обсуждаются свойства остатков от деления, разбираются задачи на использование свойств арифметических операций над остатками.

В дистанционном уроке мы продолжаем знакомиться с темой "Делимость". В третьем уроке по данной теме основное внимание уделено разбору задач, в которых используются закономерности, связанные с остатками от деления степеней чисел.

В очередном уроке по теме "Комбинаторика" обсуждаются свойства одной из наиболее распространенных схем комбинаторного выбора -- сочетаний.

На втором занятии, посвящённом методу математической индукции Рассматриваются несколько классических задач по этой теме, среди которых широко известная задача "Ханойские башни".

Очередное занятие математического кружка посвящено теме "Игры". Конечно, речь идет не о любых играх, а только о некоторой их разновидности, в которой оба игрока владеют полной информацией об игровой ситуации, играют друг против друга и поочередно делают ходы. Основная цель при решении таких игровых задач -- придумать стратегию, которая позволила бы одному из игроков победить вне зависимости от ходов соперника. Как же искать такие выигрышные стратегии? Об этом и пойдет разговор на очередном уроке.

В четвертом уроке, посвященном теории графов, основное внимание уделено понятию степени вершины. Обсуждаются основные свойства степеней вершин графа (в том числе лемма о рукопожатиях), которые в дальнейшем применяются при решении задач.

Для решения некоторых математических задач бывает полезно рассмотреть "крайние" объекты или величины: самое большое или самое маленькое число, наиболее удаленную или самую близкую точку и так далее. Принцип решения, основанный на таком подходе, так и называется -- принцип крайнего. Об основных идеях принципа крайнего и пойдет речь на очередном уроке.

Одной из важных идей при решении математических задач является рассмотрение инварианта -- величины или характеристики, не меняющейся при процессах, описанных в условии задачи. Первое занятие на тему "Инвариант" посвящено обсуждению основных идей решения задач с помощью анализа таких величин. Особенности поиска инварианта будут продемонстрированы на примере классических задач олимпиадной математики.

В ходе второго занятия на тему "Инвариант" естественное развитие получают идеи поиска неизменяемых величин, рассмотренные на предыдущем уроке. Теперь в качестве инвариантов предлагается рассмотреть не только чётность (фактически, делимость на два), но и вообще остатки от деления на различные целые числа. Традиционно подходы к поиску инвариантов демонстрируются примере разнообразных задач.

Задачи на разрезания имеют очень понятную основу. Все школьники знают, что такое бумага и ножницы. Но даже на этих задачах возможно получить много полезных математических навыков. Например, умение аккуратно проводить перебор вариантов, пользоваться соображениями симметрии.

Продолжение занятия по разрезаниям фигур закрепляют ранее полученные навыки, а также приучают вести подсчёты и перечисления простейших клетчатых фигур. При решении каждой задачи обращается внимание на подходы получения тех или иных решений.

В ходе дистанционного урока мы продолжаем знакомиться с возможностями применения принципа крайнего. На этот раз основное внимание будет уделено использованию идеи рассмотрения крайних объектов при решении геометрических задач.

В дистанционном уроке мы продолжаем знакомиться с темой "Делимость". В четвертом уроке по данной теме разбираются различные задачи на делимость и свойства остатков, описывается алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел.

Занятие продолжает тему "Индукция", начатую на предыдущих занятиях. Доказываются несколько формул, связанных с суммированием степеней чисел.

На очередном занятии по математической индукции, в основном, рассматриваются задачи, связанные с делимостью, но не только.

Умение сравнивать величины – одно из очень важных умений и в математике, и в других науках, и в жизни. Некоторым методам сравнения чисел посвящено первое занятие по неравенствам.

Кроме продолжения темы предыдущего занятия по неравенствам, будет выведена, наверное, самая известная и применяемая формула – неравенство Коши для двух чисел. На её основе приводятся решения нескольких задач.

На последнем уроке, посвященном методу математической индукции рассматриваются решения нескольких задач, связанных с доказательством неравенств, а также некоторые нетрадиционные схемы индукции.

На занятии доказывается сначала неравенство Коши для трёх чисел, а затем и для четырёх чисел. И та, и другая формула иллюстрируются решениями нескольких задач.

На первом занятии по системам счисления ученики познакомятся с записью чисел в позиционных системах счисления, сначала – в традиционной десятичной, затем и в других. Научатся складывать «столбиком» в произвольных системах, решат несколько простейших задач. Также будут рассмотрены простые признаки делимости в некоторых системах.

Второе занятие по системам счисления знакомит с несколькими новыми признаками делимости. В качестве примера применения двоичной системы счисления приводится стратегия игры «Ним».

Под полуинвариантом понимается величина, которая в некотором процессе изменяется в одну сторону – либо увеличивается, либо уменьшается. Как правило, это не может происходить бесконечно долго. Применение полуинвариантов часто полезно при решении задач. Умение увидеть полуинвариант в некотором процессе – одно из математических искусств.

На занятии, продолжающем тему «Игры» обобщаются некоторые подходы из предыдущих занятий. Так симметричные стратегии обобщаются парными, а игры-шутки – играми, в которых можно не заботиться о выигрыше почти до последнего хода. В конце игры всё-таки надо подумать.

Занятие продолжает тему, начатую ранее. Рассматриваемые полуинварианты чуть более сложны. Это не только суммы и разности некоторых величин, но и величины, связанные с НОДами чисел, геометрическими объектами. Некоторые задачи показывают применение полуинвариантов в информатике.

В заключительном занятии по теме «Игры» рассматриваются два подхода к решению игр: передача хода и выделение выигрышных позиций.

На последнем занятии, посвященном теме «инвариант», рассматриваются чуть более сложные инварианты, которые надо увидеть или придумать.