Бесконечность Индии
Индия знала бином Ньютона во II веке до н. э. Сюда в IV-V веке н. э. бежали от погромов учёные Александрии и Афин. Уже не узнать, в Китае или Индии создана десятичная позиционная система, но цифры появились тут: первый 0 записан на стене храма крепости Гвалиора в 876.
В V-VI веках там жил и творил Ариабхата, в VII веке Брахмагупта создал способ записи уравнений и доказал свойства числа 0: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; 1 · 0 = 0. Но как решить уравнение x · 0 = 1 ? В XII веке Бхаскара II ввёл понятие бесконечности: 1 / 0 = ∞!
Отрицательные числа индийцы называли долгами. Они применяли непрерывные дроби, которых не было у греков, и делали открытия в созданной греками тригонометрии, переводящей на язык чисел геометрию. Для угла прямоугольного треугольника функция СИНУС даёт отношение противоположной углу стороны к гипотенузе. А Солнце, Земля и Луна образуют такой треугольник, когда видна ровно половина Луны. Измерив угол между обсерваторией и Луной (1/7 градуса), и зная синус 1/7 градуса (=1:400), индийцы определили, что Луна в 400 раз ближе к Земле, чем Солнце.
Греки знали значения СИНУСА только некоторых углов. Индийцы нашли способ вычисления синуса любого угла. Мадхава, создавший в XV веке язык операций с бесконечными рядами (суммами бесконечного числа дробей), использовал их, чтобы вычислить число π, равное отношению длины любой окружности к её радиусу.
Ребхата в VIII веке дал приближение к π – 3,1416, и получил длину экватора Земли – 39 968 км, что всего на 110 км отличается от точного значения. Мадхава нашел искомый ряд:
π = 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + …
Эту формулу в XVII веке заново открыл Лейбниц. Ряд изящен, но для приемлемой точности требует большого числа слагаемых. Для вычисления миллиарда знаков числа π в 1989 использовали феноменальные формулы Рамануджана.
