Размерность Хаусдорфа
8 ноября 1868 года родился один из основоположников современной топологии Феликс Хаусдорф. Одна из теорем-парадоксов Хаусдорфа утверждает, что можно единичный отрезок разбить на счётное число кусков, и с помощью одних только сдвигов составить из них отрезок длины два.
Хаусдорф родился в Германии (Бреслау, ныне Вроцлав, Польша). Окончил университет Лейпцига и преподавал в нем и университетах Грейсфельда и Бонна (с 1921г). После прихода Гитлера к власти отстранен от преподавания. 26 января 1942 года отправке в концлагерь семья Хаусдорфов предпочла смерть. Его имя теперь носит улица в Бонне, оно осталось в теории множеств и теории чисел, функциональном анализе и топологии. Известен как писатель Поль Монгре.
Топологическое пространство назвали хаусдорфовым, если у любых двух различных точек есть непересекающиеся окрестности. Между замкнутыми множествами определено расстояние Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа — естественный способ обобщить понятие размерности множества в метрическом пространстве: размерность точки – 0, отрезка – 1, прямоугольника – 2, куба – 3. Но существуют и «плохие множества». Классический пример описан Кантором(1883). Пусть M – множество чисел от нуля до единицы, в записи которых в троичной системе счисления нет единиц. Оно имеет мощность континуума, меру Лебега ноль, совпадает с множеством своих предельных точек, не содержит отрезков и является самоподобным (фракталом). Но если фрактал состоит из n частей, подобных исходному с коэффициентом подобия r, то его размерность Хаусдорфа s определяется уравнением n · rs = 1 или s = logr 1n. Начиная со второго символа, у нас может быть любой допустимый набор символов, а в первой позиции – допустимы два варианта из трех. Значит n = 2, r = 1/3. Получаем дробную размерность Хаусдорфа s = ln2/ln3 ≈ 0.63.
